為什么"負一"乘"負一" 等于"正一" 的課外數學教學教案

  我們開始學算術時,總是把一個算術式與某一 “ 日常生活中的實例 ” 聯系起來,例如,把 “ 一加一等于二 ”這個算術式與“一個桃子加上一個桃子得到兩個桃子”這一實例聯系起來。一個算術式有了這樣的 實例 ,我們就理解了,一旦沒有這樣的 實例 ,這個算術式就成了“無法理解”的。

  像這樣,我們把分數“三分之二”理解為三個人分兩個桃子時,每個人分得的份額;把“負數”理解為家庭收支中的“債務”,等等。但我們的日常生活領域太狹窄,遠不能為所有的算術式提供實例,我們不理解為什么“‘ 負一’ 乘‘ 負一’等于‘正一’ ”,正是因為我們一時找不到對應于這一算術式的實例。或許,有人生活經驗極為豐富,能為這個算術式乃至其他更復雜的算術式找到實例,但只要他局限于“尋找對應的實例”這樣的理解方式,他就早晚會遇到一個界限,在這個界限之外的算術式,就成了他所不理解的[ www.flytickets.com.cn UU作文范文網 ]。

  然而,如果放棄這種理解方式,就有可能越過這一界限,例如,“ 負一 乘 負一等于正一 ”這個算術式可以按照如下方式來理解:

  第一,三加負一等于二,二加負一等于一;

  第二,二乘一等于二;

  第三, 從第一步與第二步我們得到: “ 三加負一 ”乘“ 二加負一 ”等于二;

  第四,展開“ 三加負一 ”乘“ 二加負一 ”,得到四項之和,其中有三項不涉及負數與負數之積,從而是我們已經接受的算術式; 而第四項則正是“ 負一 ”乘“ 負一 ”。 借助于已知的運算規律,可將前面三項合并,得到 “ 一 ”。于是我們得到: “ 三加負一 ”乘“ 二加負一 ”等于 “ 一 ” 加上 “ 負一 乘 負一 ”。

  第五,從第三步與第四步我們得到:“‘ 一 ’ 加上 ‘ 負一 乘 負一’ 等于二。”

  第六,將“一”移項,從第五步得到“‘ 負一 乘 負一’等于‘正一’ ”。

  在這六步中教學教案,我們一方面應用了已經接受的算術式,另一方面又應用了算術中的交換律、結合律、分配律以及移項等已知規律,這就表明,按照這些已知規律,我們可以從已經接受的算術式 “ 推導出 ”“ 負一 乘 負一等于正一 ”這一算術式。這樣,我們就按照算術自身的規律理解了這一算術式。

  一般地說 ,我們學習算術可以分成為三個階段:第一階段,從與日常生活的實例對比中來理解某些個別的算術式,同時從這些個別的算術式總結出一般的運算規律;第二階段,按照第一階段總結出運算規律,從一些較簡單的算術式導出較復雜的算術式,不再要求這些較復雜的算術式與日常生活的實例相互對應。第三階段,從最簡單的算術式和最簡單的運算規律開始,導出全部算術式,從頭到尾擺脫與日常生活的實例相互對應這一環節。這個第三階段所用的方法就是所謂“公理化”的方法,這種方法對于我們學習算術乃至學習數學的其他分支都是極為重要的。

  上面就是我的回答。不久,這位學生又問我關于復數的問題,他的提問和我的回答至今我記憶猶新。我原準備就這一問題給學生們上一節課,還為此準備了一個教案,下面是這個教案的要點:

  關于復數的故事,可以從“數學怪人”卡丹的一道題說起,“如何把 10 分成兩部分,使得其 乘積為 40 ?”這道看來平淡無奇的算術題的求解把我們帶進了怪異的復數王國。對于這一意外的結果,卡丹這樣說:“算術是如此微妙地發展著, 而它的盡頭,卻……是既精致而又無用的。”

  在以后的發展中,復數運算不僅越來越精致,而且也越來越有用,但數學家們卻繼續拒絕承認復數是 “ 數 ”。直到“數學王子”高斯和與他同時代的其他人把復數表成平面上的一點,并給出復數加法與乘法的幾何意義,復數才最終登上了數學的大雅之堂 。

  對于我來說,接受復數是在 接受了“域”的概念之后。“域”雖然是一個“高等代數”的概念,但只要學過“分數”,我們就可以這樣理解它:“域”是一個“數的集合”,在這個集合中,可以定義加減乘除四則運算,而且其中的加法和乘法運算,滿足交換律、結合律、交換律等運算規律。有了“域”的概念,“ 復數 ”就 可(借助于實數)定義如下:

  第一,每一個實數都是一個復數;

  第二, “ 負一的平方根 ” 是一個復數;

  第三,全體復數構成一個 “ 域 ” 。

  由此可見,掌握“域”的概念之后,對 “ 復數 ” 這一概念的引進可大大簡化。

  有了 “域”的概念 ,我同樣容易地接受了 “ 非標準分析 ” 中的 “ 超實數 ”,因為“超實數” 可(借助于實數)定義如下:

  第一,每一個實數都是一個超實數;

  第二,某一無窮小量(其絕對值大于零而小于一切正實數的量)是一個超實數;

  第三,全體超實數構成一個 “ 域 ” 。

  關于有理數、實數、復數和超實數的理論,統稱為 “ 數系 ”的 理論。對于 這一 理論,“域”是一個關鍵的概念。

  馬克思在他的《數學手稿》中曾對“導數”有過一些議論,作為一個外行人在工作之余想一想數學問題,無論對錯都是無可非議的。不幸的是,當 “ 馬克思主義 ” 蛻變為一種宗教以后,他的數學手稿也被提升為數學的 “ 最高成果 ” ,這就引起了完全多余的麻煩。對于數學我所知甚微,不可能在這里評論馬克思的《數學手稿》的學術價值的問題。但對于馬克思在手稿中提出的一個論點我不妨說兩句,馬克思譴責數學家們忌諱把 “ 零 ” 作為一個分數的分母,說這是一種“形而上學的恐懼”,這一點我不敢茍同。如果允許零作為分母,除法就不再是一個“代數運算”,而“分數”就不再是一個 “ 域 ” 。這樣,整個算術的大廈就成了一片廢墟。

  恩格斯曾說馬克思是一個精湛的數學家,在我看來,這表明恩格斯對于數學也只是一個“半通”(這是他對自己的評價)。

  在《自然辯證法》一書中,恩格斯一方面對數學提出許多深刻而又中肯的意見;另一方面也提出了某些錯誤的看法而不自知。但是,其中有一論點恩格斯自己也知道錯了,那就是他說: “ 虛數的荒謬的,但有時候應用虛數也能得出正確的結論。 ” 錯在何處,恩格斯沒有說。其實,恩格斯對虛數的這種看法,和 17 、 18 世紀大多數數學家對虛數的看法差不多,問題僅在于到了恩格斯所處的時代,數學家們已經認識到復數并不是荒謬的,而作為一個哲學家,恩格斯本應走在數學家們前面的……。

  恩格斯對虛數的看法是一種落后于時代的看法,這一看法說明恩格斯也是一個人,而不是無所不知的神。至于馬克思關于 “ 零可以作為分數的分母 ”的意見 ,就不是落后不落后的問題,它是一個錯誤,而且是一個致命的錯誤。

  不過話又說回來,對于數學,馬克思充其量是一個業余愛好者,不論他有怎樣的錯誤,都可以一笑置之,這件小事絲毫無損于這位偉大的思想家的聲譽。至于“最高成果”之說,那就不能由馬克思負責任了。

  一個相關的問題是愛因斯坦對恩格斯的《自然辯證法》一書的評價,這個問題一向很敏感,而且不完全是一個學術問題。按照我的意見,《自然辯證法》是一本沒有定稿的書,其中的某些論點,對于一個沒有自己重踏恩格斯的思路的讀者是不可能理解的。這里我舉一個例子,在該書的開頭,恩格斯寫道:“力學,出發點的慣性,而慣性只是運動不滅的反面表現。”“慣性”這一用語在這本書中只在這里驚鴻一瞥,以前不曾出現,以后也不再出現。這句話是什么意思,眾說紛紜,迄今沒有一個哪怕是字面上說得通的看法。愛因斯坦是誠然一個卓越的物理學家,但他肯定不知道恩格斯這里說的是什么意思。如果一個人連恩格斯說的是什么都不知道,他能對《自然辯證法》提出中肯的意見嗎?
 

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